Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-m）．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)m=4時(shí)，有|2x+1|+|x+2|＞4，故有 ①，或 ②，或 ③．分別求出①②③的解集，
再取并集即得所求．
（2）由題意可得 m≤|2x+1|+|x+2|-2，令g（x）=|2x+1|+|x+2|-2，求得g（x）的最小值等于-，可得 ．
解答：（1）當(dāng)m=4時(shí)，函數(shù)f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-4），故有|2x+1|+|x+2|＞4．
故有 ①，或 ②，或 ③．
解①得 x＜-； 解②得 x∈∅； 解③得 x＞．
取并集可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?nbsp; ．-----（5分）
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，則有|2x+1|+|x+2|-m≥2，即  m≤|2x+1|+|x+2|-2．
令  ，可得，即 g（x）的最小值等于-
∴．-------（5分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．