對于函數(shù)y=f(x),若存在區(qū)間[a,b],當x∈[a,b]時,f(x)的值域為[ka,kb](k>0),則稱y=f(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=lnx+x是k倍值函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是______.
∵f(x)=lnx+x,定義域為{x|x>0},f(x)在定義域為單調(diào)增函數(shù),
因此有:f(a)=ka,f(b)=kb,即:lna+a=ka,lnb+b=kb,即a,b為方程lnx+x=kx的兩個不同根.
∴k=1+
lnx
x
,令 1+
lnx
x
=g(x),令 g'(x)=
1-lnx
x2
=0,可得極大值點x=e,故g(x)的極大值為:g(e)=1+
1
e

當x趨于0時,g(x)趨于-∞,當x趨于∞時,g(x)趨于1,
因此當1<k<1+
1
e
 時,直線y=k與曲線y=g(x)的圖象有兩個交點,方程 k=1+
lnx
x
有兩個解.
故所求的k的取值范圍為(1,1+
1
e
),
故答案為 (1,1+
1
e
).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x+
π
2
)
為偶函數(shù),對于函數(shù)y=f(x)有下列幾種描述:
①y=f(x)是周期函數(shù)②x=π是它的一條對稱軸;③(-π,0)是它圖象的一個對稱中心;
④當x=
π
2
時,它一定取最大值;其中描述正確的是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列五個命題:
①函數(shù)y=f(x),x∈R的圖象與直線x=a可能有兩個不同的交點;
②函數(shù)y=log2x2與函數(shù)y=2log2x是相等函數(shù);
③對于指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)y=x2,總存在x0,當x>x0 時,有2x>x2成立;
④對于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)•f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點.
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,則x1+x2=5.
其中正確的序號是
③⑤
③⑤

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•和平區(qū)一模)函數(shù)y=f(x)是定義在[a,b]上的增函數(shù),其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)無零點,設(shè)F(x)=f2(x)+f2(-x),則對于函數(shù)y=F(x)有如下四種說法:①定義域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函數(shù);④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.其中正確的說法是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•上海模擬)對于函數(shù)y=f(x)的圖象上任意兩點A(a,f(a)),B(b,f(b)),設(shè)點C分
AB
的比為λ(λ>0).若函數(shù)為f(x)=x2(x>0),則直線AB必在曲線AB的上方,且由圖象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
.若函數(shù)為f(x)=log2010x,請分析該函數(shù)的圖象特征,上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間[-3,3]上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,對于函數(shù)y=f(x)的圖象上任意兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]<0.若實數(shù)a,b滿足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0,則點(a,b)所在區(qū)域的面積為( 。
A、8B、4C、2D、1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案