Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n＞0，a₁=

2

3

，且-

3

a2

，

1

a3

，

1

a4

成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n•log₃（1-S_n+1）=1，求適合方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

25

51

的正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由-

3

a2

，

1

a3

，

1

a4

成等差數(shù)列建立關(guān)于q的方程，解出q，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用前n項(xiàng)和公式表示出S_n+1，從而表示出b_n，利用裂項(xiàng)相消法求出b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，建立關(guān)于n的方程，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q，
由-

3

a2

，

1

a3

，

1

a4

，

1

a4

成等差數(shù)列，
得-3+

1

q2

=

2

q

，
解得q=

1

3

或q=-1（舍去），
∴an=2×(

1

3

)n；
（Ⅱ）∵Sn+1=

2 3 (1- 1 3n+1 )

1- 1 3

=1-

1

3n+1

，
∴log3(1-Sn+1)=log3

1

3n+1

=-n-1，
∴bn=-

1

n+1

，
bnbn+1=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
b1b2+b2b3+…+bnbn+1=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+••+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

25

31

，
解得：n=100．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的概念與性質(zhì)，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題．