Question

有下列命題：
①在函數y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②函數y=

x+3

x-1

的圖象關于點（-1，1）對稱；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，則實數a=-1；
④在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①利用誘導公式和倍角公式、周期公式即可得出；
②函數變形為y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，即可得出圖象關于點（1，1）對稱；
③對a分類討論：當a≠0時，由△=0，解得a，當a=0時，直接驗證即可；
④利用平方關系和兩角和的正弦公式、誘導公式、三角形的內角和定理即可得出．

解答： 解：①y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)=sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x，
∴T=

2π

2

=π，∴圖象相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

，因此不正確；
②函數y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

的圖象關于點（1，1）對稱，因此②不正確；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，
當a=0時，不適合；
當a≠0時，由△=4a²+4a=0，解得a=-1．
綜上可知：實數a=-1，因此正確；
④在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
分別平方相加可得9+16+24sin（A+B）=37，
化為sinC=

1

2

，則角C等于30°或150°．因此正確．
綜上可知：只有③④正確．
故答案為：③④．

點評：本題綜合考查了三角函數的平方關系、兩角和的正弦公式、誘導公式、三角形的內角和定理、函數的對稱性、一元二次方程的實數根與判別式的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．