Question

選修4-5《不等式選講》．
已知a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），使

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：利用基本不等式求得

1

a

+

4

b

的最小值等于9，由題意可得|2x-1|-|x+1|≤9，分x≤-1時，-1＜x＜

1

2

 時，x≥

1

2

 時，
三種情況分別求出不等式的解集，再取并集，即得結果．

解答：解：∵a+b=1，且 a＞0，b＞0，∴

1

a

+

4

b

=（a+b）（

1

a

+

4

b

 ）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

4

=9，
故 

1

a

+

4

b

 的最小值等于9． 要使

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，所以，|2x-1|-|x+1|≤9．
當 x≤-1時，2-x≤9，∴-7≤x≤-1．  當-1＜x＜

1

2

 時，-3x≤9，∴-1＜x＜

1

2

．
當x≥

1

2

 時，x-2≤9，∴≤

1

2

 x≤11．
綜上，-7≤x≤11．

點評：本題考查基本不等式的應用，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數學思想．
關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解．