Question

【題目】設(shè)橢圓，過點(diǎn)的直線，分別交于不同的兩點(diǎn)、，直線恒過點(diǎn)

（1）證明：直線，的斜率之和為定值；

（2）直線，分別與軸相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2) 軸上存在定點(diǎn)使為定值，該定值為1

【解析】

（1）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線y＝k（x﹣4）和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，直線PQ、AP、AQ的斜率分別為k，k1，k2，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理即可得證；

（2）設(shè)M（x3，0），N（x4，0），由y﹣1＝k1（x﹣2），令y＝0，求得M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理可得所求乘積．

（1）設(shè)，直線的斜率分別為，由得

，可得：，

（2）由，令，得，即

同理，即，設(shè)軸上存在定點(diǎn)則

，要使為定值，即

故軸上存在定點(diǎn)使為定值，該定值為1