Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，是的中點(diǎn)．

（1）證明；

（2）若，

（i）求直線與平面所成角的正弦值；

（ii）設(shè)平面與側(cè)棱交于，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）；（ii）

【解析】

（1）證明，即可證面，從而得到結(jié)論；

（2）（i）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，列方程求出面的法向量為，最后利用公式即可得到結(jié)果；（ii）根據(jù)（i）的結(jié)論，設(shè)，則，由此計(jì)算得到，又，求出，從而得到結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>面，平面，所以，

因?yàn)?/span>，，所以面，因?yàn)?/span>平面，所以；

（2）（i）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，

所以，，.

設(shè)面的法向量為，則，所以，

設(shè)直線與面所成角為，，

故直線與平面所成角的正弦值為；

（ii），，設(shè)，，

，，

所以，則，

又，所以，所以.