Question

18．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以線段F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓O與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，與y軸交于B，D兩點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，則下列命題正確的是②③④．（寫出所有正確的命題編號(hào)）
①線段BD是雙曲線的虛軸；
②△PF₁F₂的面積為b²；
③若∠MAN=120°，則雙曲線C的離心率為$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$；
④△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為a．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)分別進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解：①以線段F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓O的半徑R=c，則B（0，c），D（0，c），
則線段BD不是雙曲線的虛軸；故①錯(cuò)誤，
②∵三角形PF₁F₂是直角三角形，
∴PF₁²+PF₂²=4c²，
又PF₁-PF₂=2a，
則平方得PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂=4c²，
即4a²-2PF₁PF₂=4c²，
則PF₁PF₂=2c²-2a²=2b²，
則△PF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$PF₁PF₂=$\frac{1}{2}×$2b²=b²，故②正確，
③由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-b}\end{array}\right.$，
即M（a，b），N（-a，-b），
則AN⊥x軸，
若∠MAN=120°，
則∠MAx=30°，
則tan30°=$\frac{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，平方得$\frac{^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
則雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$；故③正確，
④設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，PF₁、PF₂分 與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M₁、N₁，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PM₁|=|PN₁|，
故|M₁F₁|-|N₁F₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，

故（x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．
即△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為a．故④正確，
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與雙曲線有關(guān)的命題的真假判斷，涉及雙曲線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．