Question

如圖，四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°．點(diǎn)E在BD上，且DE=

1

3

DB．
（Ⅰ）求證：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)DE=a，由已知條件利用余弦定理求出CD=

3

a，CE=a，從而得到∠BCE=90°，由此能證明EC⊥平面ABC，從而得到EC⊥AB．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)O，BE中點(diǎn)F，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz，利用向量法能求出二面角A-CD-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：△DCB中，CB=CD，∠DCB=120°，
∴∠CDB=30°，設(shè)DE=a，∵DE=

1

3

DB．∴BD=3a，解得CD=

3

a，
在△CDE中，由余弦定理，得：CE=

3a2+a2-2 3 a2•cos30°

=a，
∴∠DCE=30°，∴∠BCE=90°，∴EC⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，交線為BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）解：取BC中點(diǎn)O，BE中點(diǎn)F，連結(jié)OA，OF，
∵AC=AB，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，交線為BC，
∴AO⊥平面BCD，
∵O是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，
∴OF∥EC，由（1）知，EC⊥BC，∴OF⊥BC，
以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz，
設(shè)DE=2，得A（0，0，1），B（0，

3

，0），
C（0，-

3

，0），D（3，-2

3

，0），
∴

AC

=(0，-

3

，-1)，

CD

=(3，-

3

，0)，
設(shè)平面ACD的法向量

n1

=（1，

3

，-3），
又平面BCD的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

-3

13

=-

3 13

13

，
∴二面角A-CD-B的余弦值為

3 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．