Question

定義|

a1a2 a3a4

|=a₁a₄-a₂a₃，若函數(shù)f（x）=|

2sinx 2 sinx 2 sinxcosx

|，給出下列四個(gè)命題：
①f（x）在區(qū)間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數(shù)；
②f（x）關(guān)于（

3π

8

，0）中心對稱；
③y=f（x）的表達(dá)式可改寫成y=

2

cos（2x-

π

4

）-1；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
①由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，即可判斷；
②由于解得f（

3π

8

）=-1，故不是函數(shù)的對稱中心；
③由2x+

π

4

=

π

2

-（2x+

π

4

），由誘導(dǎo)公式即可證明命題正確；
④根據(jù)函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍，即可判斷．

解答： 解：f（x）=|

2sinx 2 sinx 2 sinxcosx

|=2sinxcosx-2sin²x=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
①由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，故當(dāng)k=0時(shí)，f（x）在區(qū)間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數(shù)，命題①正確；
②由于f（

3π

8

）=

2

sin（2×

3π

8

+

π

4

）-1=-1，故命題②錯(cuò)誤；
③由于f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1=

2

cos[

π

2

-（2x+

π

4

）]-1=

2

cos（2x-

π

4

）-1，故命題③正確；
④因?yàn)楹瘮?shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍．所以命題錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于基本知識的考查．