Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，H分別是B₁C₁，C₁D₁，BC的中點；
（Ⅰ）求證：平面CMN∥平面HB₁D₁．
（Ⅱ）若平面HB₁D₁∩CD=G，求證：G為CD的中點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)面面平行的判定定理證明平面CMN∥平面HB₁D₁．
（Ⅱ）根據(jù)平面的基本公里3進行證明即可．

解答：（Ⅰ）∵M，N，H分別是B₁C₁，C₁D₁，BC的中點；
∴MN∥B₁D₁，
MN∥面HB₁D₁  
 又∵H為BC的中點，
在四邊形HCMB₁中，B₁M∥CH，且B₁M=CH，
∴四邊形HCMB₁為平行四邊形，
∴HB₁∥MC，
∴MC∥面HB₁D₁，
又∵MN∩MC=M，
∴面CMN∥面HB₁D₁．
（Ⅱ）∵面HB₁D∩CD=G，CD?面ABCD，
∴G為面HB₁D₁．與面ABCD的一個公共點
又∵H為面HB₁D₁．與面ABCD的另一個公共點，
∴面HB₁D₁．∩面ABCD=GH，
又∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁，面HB₁D₁．∩面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴GH∥B₁D₁，
∴GH∥BD，
∴G為CD的中點．

點評：本題主要考查面面平行的證明，利用面面平行的判定定理是解決本題的關鍵．