Question

設數列{a_n}滿足a₁＝2，a₂＋a₄＝8，且對任意n∈N^*，函數f(x)＝(a_n－a_n＋1＋a_n＋2)x＋a_n＋1·cosx－a_n＋2·sin x滿足f′＝0.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)若b_n＝2，求數列{b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解析：(1)由a₁＝2，a₂＋a₄＝8

f(x)＝(a_n－a_n＋1＋a_n＋2)x＋a_n＋1·cos x－a_n＋2·sin x，

f′(x)＝a_n－a_n＋1＋a_n＋2－a_n＋1·sin x－a_n＋2·cos x，

所以f′＝a_n－a_n＋1＋a_n＋2－a_n＋1＝0，

所以，2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2，

所以{a_n}是等差數列.

而a₁＝2，a₃＝4，d＝1，

a_n＝2＋(n－1)×1＝n＋1(n∈N^*)．

(2)b_n＝2＝2(n＋1)＋，

S_n＝

＝n(n＋3)＋1－＝n²＋3n＋1－.