Question

5．F₁、F₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線l：y=2x+5與橢圓C交于P₁，P₂，已知橢圓中心O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在橢圓C的左準(zhǔn)線上，且|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10a}{9}$，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 求出橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求橢圓C的左準(zhǔn)線方程，得到$-\frac{{a}^{2}}{c}=-4$，再把y=2x+5代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10a}{9}$，求出a，b，c的另一等式，再結(jié)合隱含條件即可求橢圓C的方程．

解答 解：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{2•\frac{y}{x}=-1}\\{\frac{y}{2}=2•\frac{x}{2}+5}\end{array}\right.$，解得x=-4，y=2，
∴橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4，即$-\frac{{a}^{2}}{c}=-4$ ①．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=2x+5}\end{array}\right.$，得（4a²+b²）x²+20a²x+25a²-a²b²=0．
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+^{2}}$，
由焦半徑公式可得：|P₂F₂|=a-ex₂，|P₁F₁|=a+ex₁，
∴|P₂F₂|-|P₁F₁|=a-ex₂-a-ex₁=-e（x₁+x₂）=$-\frac{c}{a}•（-\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+^{2}}）$=$\frac{10a}{9}$ ②．
又a²=b²+c² ③．
聯(lián)立①②③解得：a²=8，b²=4．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了橢圓焦半徑公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．