Question

17．求如圖，SA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，SC⊥平面AEFG．求證：
（1）AE⊥SB；
（2）GE⊥平面SAC．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥BC，BC⊥AB，可證BC⊥平面SAB，即得BC⊥AE，由SC⊥AE可證AE⊥平面SBC，即可證明AE⊥SB；
（2）由（1）AE⊥平面SBC，AE⊥EF，同理可證AG⊥GF，證明AF⊥GE．又可證SC⊥EG．從而得證．

解答 證明：（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BC，
又∵BC⊥BA，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵SC⊥截面AEFG，
∴SC⊥AE，
∴AE⊥平面SBC
∴AE⊥SB；
（2）由（1）AE⊥平面SBC，AE⊥EF，
同理可證AG⊥GF，
∴A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)在以AF為直徑的圓上，
∵△SAB≌△SAD，AE和AG都是RT三角形斜邊的高，
∴AE=AG，
又∵AF=AF，∠AGF=∠AEF=90°，
∴△AEF≌△AGF，
∴AF是角平分線(xiàn)，即AF是等腰△AGE的高．
∴GE⊥AF．
又∵SC⊥平面AEFG．
∴SC⊥EG．
∵AF∩SC=F
∴GE⊥平面SAC．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系，直線(xiàn)與平面垂直的判定，空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．