已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的一個焦點是F(1,0),且離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點F的直線交橢圓C于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交y軸于點P(0,y0),求y0的取值范圍.
(Ⅰ)設(shè)橢圓C的半焦距是c.依題意,得 c=1.
因為橢圓C的離心率e=
c
a
=
1
2
,
所以a=2,c=2,b2=a2-c2=3.
故橢圓C的方程為 
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)當(dāng)MN⊥x軸時,顯然y0=0.
當(dāng)MN與x軸不垂直時,可設(shè)直線MN的方程為y=k(x-1)(k≠0).
由 
y=k(x-1)
3x2+4y2=12
消去y整理得 (3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點為Q(x3,y3),
則 x1+x2=
8k2
3+4k2

所以 x3=
x1+x2
2
=
4k2
3+4k2
y3=k(x3-1)=
-3k
3+4k2

線段MN的垂直平分線方程為y+
3k
3+4k2
=-
1
k
(x-
4k2
3+4k2
)

在上述方程中令x=0,得y0=
k
3+4k2
=
1
3
k
+4k

當(dāng)k<0時,
3
k
+4k≤-4
3
;當(dāng)k>0時,
3
k
+4k≥4
3

所以-
3
12
y0<0
,或0<y0
3
12

綜上:y0的取值范圍是[-
3
12
,
3
12
]
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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