【題目】已知函數(shù)f(x)=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ +1(a>0,ω>0)的最大值為3,最小正周期為π.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)若f(θ)= ,求sin(4θ+ )的值.
(3)若存在區(qū)間[a,b](a,b∈R,且a<b)使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6個(gè)零點(diǎn),在滿足上述條件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.
【答案】
(1)解:f(x)=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ +1=asin2ωx+ cos2ωx+1= sin(2ωx+φ)+1,
∵f(x)的最大值為3,最小正周期為π.
∴ +1=3, =π,a>0,ω>0.
解得a=1,ω=1.
∴f(x)=2sin +1.
令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
解得 ≤x≤kπ+ ,
可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ,k∈Z.
(2)解:∵f(θ)= ,
∴2sin = ,即sin = ,
∴sin(4θ+ )=sin =﹣cos = ﹣1=2× ﹣1=﹣ .
(3)解:令f(x)=0,可得sin =﹣ ,∴x=k ,或x=kπ﹣ ,
故相鄰的零點(diǎn)之間的間隔依次為 , .
y=f(x)在[a,b]上至少含有6個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于b﹣a的最小值為 +3× =
【解析】(1)利用倍角公式與和差公式可得:f(x)= sin(2ωx+φ)+1,根據(jù)f(x)的最大值為3,最小正周期為π.可得 +1=3, =π,a>0,ω>0.即可得出.再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間.(2)由f(θ)= ,可得sin = ,利用誘導(dǎo)公式與倍角公式即可得出.(3)令f(x)=0,可得sin =﹣ ,x=k ,或x=kπ﹣ ,故相鄰的零點(diǎn)之間的間隔依次為 , .即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2AB,E為AA1的中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米(50≤x≤100)(單位:千米/小時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元,而汽車(chē)每小時(shí)耗油(2+ )升,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.
(1)求這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),這次行車(chē)的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2014年推出一種新型家用轎車(chē),購(gòu)買(mǎi)時(shí)費(fèi)用為14.4萬(wàn)元,每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽車(chē)油費(fèi)共0.7萬(wàn)元,
汽車(chē)維修費(fèi)為:第一年無(wú)維修費(fèi)用,第二年為0.2萬(wàn)元,從第三年起,每年的維修費(fèi)用均比上一年增加0.2萬(wàn)元
(1)設(shè)該輛轎車(chē)使用n年的總費(fèi)用(包括購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用,保險(xiǎn)費(fèi),養(yǎng)路費(fèi),汽車(chē)費(fèi)及維修費(fèi))為f(n),求f(n)的表達(dá)式.
(2)這種汽車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算(即該車(chē)使用多少年,年平均費(fèi)用最少)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,離心率為的橢圓 的左頂點(diǎn)為,過(guò)原點(diǎn)的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),直線分別與軸交于兩點(diǎn).若直線斜率為時(shí), .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試問(wèn)以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(與直線的斜率無(wú)關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(lnx﹣ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.(0, )
C.(0,1)
D.(0,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),
第5組[95,100]得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)分別求第3,4,5組的頻率;
(2)若該校決定在筆試成績(jī)高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3,4,5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試,求第4組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩位“準(zhǔn)笑星”在“信陽(yáng)笑星”選拔賽中,5位評(píng)委給出的評(píng)分情況如圖所示,記甲、乙兩人的平均得分分別為 、 ,記甲、乙兩人得分的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1、s2 , 則下列判斷正確的是( )
A.< ,s1<s2
B.< ,s1>s2
C.> ,s1<s2
D.> ,s1>s2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛120千米(50≤x≤100)(單位:千米/小時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元,而汽車(chē)每小時(shí)耗油升,司機(jī)的工資是每小時(shí)12元.
(1)求這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),這次行車(chē)的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值.
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