Question

2．若a∈R⁺，則當(dāng)a+$\frac{1}{9a}$的最小值為m時，不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1的解集為{x|x＜-3或x＞-1}．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出a+$\frac{1}{9a}$的最小值m，再代入不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1，化為等價的不等式x²+4x+3＞0，求出解集即可．

解答 解：∵a∈R⁺，∴a+$\frac{1}{9a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{9a}}$=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{9a}$，即a=$\frac{1}{3}$時取“=”；
∴a+$\frac{1}{9a}$的最小值為m=$\frac{2}{3}$；
∴不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1為：
（$\frac{2}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1，
等價于x²+4x+3＞0，
解得x＜-3或x＞-1；
故所求不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-1}．
故答案為：{x|x＜-3或x＞-1}．

點評 本題考查了利用基本不等式求最值以及指數(shù)不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．