已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，△F1AB的周長(zhǎng)為4
3
．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形，求此時(shí)直線l的方程．
（I）∵橢圓離心率為
3
3
，∴
c
a
=
3
3
，∴a=
3
c，
又△F1AB周長(zhǎng)為4
3
，∴4a=4
3
，解得a=
3
，∴c=1，b=
2
，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
3
+
y2
2
=1；
（II）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
當(dāng)斜率不存在時(shí)，這樣的直線不滿足題意，
∴設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=k（x-1），
將直線l的方程代入橢圓方程，整理得：（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=
6k3
2+3k2
-2k=
-4k
2+3k2
，
故y1+y2=k（x1+x2）-2k=
6k3
2+3k2
-2k=
-4k
2+3k2
，
∵四邊形PAPB為平行四邊形，∴
OP
=
OA
+
OB
，
從而x0=x1+x2=
6k2
2+3k2
，y0=y1+y2=
-4k
2+3k2
，
又P（x0，y0）在橢圓上，∴
(
6k2
2+3k2
)2
3
+
(
-4k
2+3k2
)2
2
=1，
整理得：
36k4
3(2+3k2)2
+
16k2
2(2+3k2)2
=1，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4-4k2-4=0，解得k=±
2
，
故所求直線l的方程為：y=±
2
（x-1）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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