Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩個(gè)不同點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPQ的面積為$\sqrt{3}$，證明：y₁²+y₂²為定值．

Answer 1

分析 （1）由離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，2ab=4$\sqrt{3}$，由a²=b²+c²，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，即可求得橢圓C的方程；
（2）直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，x₁=x₂，y₁=-y₂，由三角形面積公式即可求得|x₁|和|y₁|的值，可知y₁²+y₂²均為定值，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用△＞0及韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁•x₂的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式求得△OPQ的面積，求得a和k的關(guān)系式，即可證明x₁²+x₂²=4，利用y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，即可求得y₁²+y₂²為定值；

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，
橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4$\sqrt{3}$，即2ab=4$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$，△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•丨x₁丨•丨2y₁丨=$\sqrt{3}$，
解得：丨x₁丨=$\sqrt{2}$，丨y₁丨=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故y₁²+y₂²=3
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，m≠0，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△=（8kb）²-4（3+4k²）•（4b²-12）=48（3+4k²-b²）＞0，即3+4k²＞b²，
由韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
點(diǎn)O到直線l的距離為d=$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•d•丨PQ丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
即2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$，整理得：3+4k²=b²，滿足△＞0，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$）²-2×$\frac{4^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=4，
y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴y₁²+y₂^2₌k²（x₁²+x₂²）+2kb（x₁+x₂）+2b²=4k²-8k²+2b²=3，
綜上可知：y₁²+y₂^2₌3均為定值．

點(diǎn)評 本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．