Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，f（-3）=0，則不等式xf（x）≤0的解集為

{x|x≤-3，或x=0，或x≥3}

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Answer 1

分析：根據(jù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，f（-3）=0，可得x≤-3時，滿足不等式xf（x）≤0，再由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得x≥3時，滿足不等式xf（x）≤0，及當(dāng)x=0時，滿足不等式xf（x）≤0，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，f（-3）=0，
故當(dāng)x∈（-∞，-3）時，f（x）＞0，
當(dāng)x∈（-3，0）時，f（x）＜0，
故x∈（-∞，0）時，若xf（x）≤0，可得x≤-3．
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
故x∈（0，+∞）時，若xf（x）≤0，可得x≥3，
又由f（0）=0，故當(dāng)x=0時，滿足不等式xf（x）≤0．
綜上所述不等式xf（x）≤0的解集為{x|x≤-3，或x=0，或x≥3}
故答案為：{x|x≤-3，或x=0，或x≥3}

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是解答的關(guān)鍵．