Question

已知函數(shù)，，其中且．

(Ⅰ)當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若時(shí)，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù) （是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 單調(diào)增區(qū)間是，；(II) ;（III）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 為確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的單調(diào)性”等步驟.

(Ⅱ) 為確定函數(shù)的極值，往往遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的極值”等步驟.

本小題根據(jù)函數(shù)有極值，建立的方程，求得，從而得到.根據(jù)的圖象可由的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到，而的圖象關(guān)于對(duì)稱，

得到函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo).

（Ⅲ）假設(shè)存在a使在上為減函數(shù)，通過(guò)討論導(dǎo)函數(shù)為負(fù)數(shù)，得到的不等式，達(dá)到解題目的.

試題解析： (Ⅰ) (Ⅰ) 當(dāng)，，  1分

設(shè)，即，

所以，或，  2分

單調(diào)增區(qū)間是，；  4分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，

所以，  5分

且，即，  6分

所以，

的圖象可由的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到，而的圖象關(guān)于對(duì)稱，  7分

所以的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為；  8分

（Ⅲ）假設(shè)存在a使在上為減函數(shù)，

設(shè)，

，

，  9分

設(shè)，

當(dāng)在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，且．  10分

由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是，

由得：，

解得：，  11分

當(dāng)在上為減函數(shù)時(shí)，對(duì)于，即恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804522458408041/SYS201403080453032246366932_DA.files/image039.png">，

（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

所以在上最大值為，

故，

即，或，故；  12分

（2）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

所以在上最大值為，

故，則與題設(shè)矛盾；  13分

（3）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，

所以在上最大值為，

綜上所述，符合條件的a滿足．  14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，不等式的解法.