Question

如圖扇形AOB是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中∠AOB的圓心角為

2π

3

，半徑OA為1Km，為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由圓弧AC、線段CD及線段BD組成．其中D在線段OB上，且CD∥AO，設(shè)∠AOC=θ，
（1）用θ表示CD的長(zhǎng)度，并寫出θ的取值范圍．
（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）利用θ表示CD的長(zhǎng)度的關(guān)鍵是在△COD中正確利用正弦定理；
（2）首先將道路長(zhǎng)度L（θ）表達(dá)成θ的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的最大值，從而可以求得θ=

π

6

時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)．．

解答：解：（1）在△COD中，由正弦定理得

CD

sin∠COD

=

OD

sin∠DCO

=

CO

sin∠CDO

，又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，所以CD=cosθ+

1

3

sinθ，OD=

2

3

sinθ
因?yàn)镺D＜OB，所以sinθ＜

3

2

，所以0＜θ＜

π

3

，所以
CD=cosθ+

1

3

sinθ，θ的取值范圍為(0，

π

3

)
（2）設(shè)道路長(zhǎng)度L（θ），則L(θ)=cosθ-

1

3

sinθ+θ+1，θ∈(0，

π

3

)，L/(θ)=-sinθ-

3

3

cosθ+1
由L′（θ）=0得sin(θ+

π

6

)=

3

2

，又θ∈(0，

π

3

)，所以θ=

π

6

易得θ=

π

6

時(shí)，L（θ）取到最大值，即θ=

π

6

時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問(wèn)題中加以說(shuō)明．