Question

如圖扇形AOB是一個(gè)觀(guān)光區(qū)的平面示意圖，其中∠AOB的圓心角為，半徑OA為1Km，為了便于游客觀(guān)光休閑，擬在觀(guān)光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A(yíng)到出口B的觀(guān)光道路，道路由圓弧AC、線(xiàn)段CD及線(xiàn)段BD組成．其中D在線(xiàn)段OB上，且CD∥AO，設(shè)∠AOC=θ，
（1）用θ表示CD的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出θ的取值范圍．
（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，觀(guān)光道路最長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用θ表示CD的長(zhǎng)度的關(guān)鍵是在△COD中正確利用正弦定理；
（2）首先將道路長(zhǎng)度L（θ）表達(dá)成θ的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的最大值，從而可以求得θ=時(shí)，觀(guān)光道路最長(zhǎng)．．
解答：解：（1）在△COD中，由正弦定理得，又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，所以
因?yàn)镺D＜OB，所以，所以，所以
，θ的取值范圍為
（2）設(shè)道路長(zhǎng)度L（θ），則，
由L′（θ）=0得，又，所以
易得時(shí)，L（θ）取到最大值，即θ=時(shí)，觀(guān)光道路最長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問(wèn)題中加以說(shuō)明．