如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，E是PD的中點(diǎn)；
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACE；    
（Ⅱ）求證：BD⊥PC．
分析：（Ⅰ）取AC與BD的交點(diǎn)為O，連EO，利用EO為三角形PBD的中位線和線面平行的判定定理即可證得PB∥平面ACE；
（Ⅱ）易證BD⊥平面PAC，利用直線與平面垂直的性質(zhì)即可證得BD⊥PC．
解答：證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，取AC與BD的交點(diǎn)為O，又E是PD的中點(diǎn)，連EO，

則EO
∥
.
1
2
PB，
又EO?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD；①
又底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；②
PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

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