【題目】如圖①,在直角梯形ABCD中,AD1,ADBC,ABBC,BDDC,點(diǎn)EBC邊的中點(diǎn),將ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖②所示的幾何體.

(1)求證:AB⊥平面ADC;

(2)AC與平面ABD所成角的正切值為,求二面角BADE的余弦值。

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

1)要證明線面垂直,由條件可知,再根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化為證明,再根據(jù)線面垂直判斷定理證明;

2)由(1)可知,因?yàn)?/span>AD1,所以CD,設(shè)ABx(x>0),則BD,因?yàn)?/span>ABD∽△DCB,所以,即,求得邊長,再取過AAOBDO,則AO平面BDC,過OOG//DCBCG,以O為坐標(biāo)原點(diǎn) OB,OG,OA分別為x.y.z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)法求二面角的余弦值.

(1)證明 因?yàn)槠矫?/span>ABD⊥平面BCD,平面ABD平面BCDBDBDDC,DC平面BCD

所以DC⊥平面ABD.

因?yàn)?/span>AB平面ABD,所以DCAB,

又因?yàn)?/span>ADAB,且DCADD

所以AB⊥平面ADC.

(2)解 由(1)DC⊥平面ABD,所以∠DACAC與平面ABD所成角.

依題意得tanDAC,

因?yàn)?/span>AD1,所以CD,

設(shè)ABx(x>0),則BD,

因?yàn)?/span>ABD∽△DCB,所以,即,

解得x,故AB,BD.

AAOBDO,則AO平面BDC,過OOG//DCBCG,以O為坐標(biāo)原點(diǎn) OBOG,OA分別為x.y.z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示

ABD法向量可取

DO=OA=

D,0,0 A0,0,),,

,所以 ,

設(shè)面DAE法向量為

又二面角BADE是銳角,所以所求二面角的余弦值為。

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