【題目】設(shè)函數(shù) ，的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，，，求證：在內(nèi)存在唯一的，使直線的斜率等于.

【答案】(1)a＞0時(shí)， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.時(shí)在（0，+∞）單調(diào)遞減. (2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）對(duì)a分兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）即 只需證明，且唯一．再構(gòu)造函數(shù)證明得解.

解：（1），

又的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，

該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）∵，

∴，化簡(jiǎn)得

即

因此，要證明原命題成立，只需證明

，且唯一．

設(shè)， ①

則，

再設(shè)，，

∴，

∴在是增函數(shù)，

又，∴ ②

同理 ③

∵一次函數(shù)在上是增函數(shù)，

因此由①②③得在有唯一解，

故原命題成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)若不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對(duì)角線與的交點(diǎn)為，四邊形為梯形， .

（Ⅰ）若，求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，求與平面所成角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖②所示的幾何體.

(1)求證：AB⊥平面ADC；

(2)若AC與平面ABD所成角的正切值為，求二面角B—AD—E的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求證：命題“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè),分別為橢圓:的左右焦點(diǎn),已知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn),的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,,等比數(shù)列,求線段的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】長(zhǎng)方形中， ， 是中點(diǎn)（圖1）．將△沿折起，使得（圖2）在圖2中：

（1）求證：平面 平面；

（2）在線段上是否存點(diǎn)，使得二面角為大小為，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形， 　平面，且是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)……”其大意為：“某人從距離關(guān)口三百七十八里處出發(fā)，第一天走得輕快有力，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程為前一天的一半，共走了六天到達(dá)關(guān)口……” 那么該人第一天走的路程為______________

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