Question

記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知向量（n∈N^* ）和 （n∈N^* ）滿足．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求S₃₀；
（3）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項的和為T_n．

Answer 1

解：（1）∵，∴=λ=，再由，
可得 a_n=，且 λ=．
∴a_n=（）•==cos．
（2）數(shù)列{a_n}的前幾項分別為1，-，-，1，-，-，1，-，-，…為周期為3的周期數(shù)列，
且 a_3k-2+a_3k-1+a_3k=0，k∈z．
故 S₃₀ =0．
（3）∵b_n=na_n =n cos，故當(dāng) n=3k，k∈N^* 時，
∵b_3k-2+b_3k-1+b_3k=（3k-2）（-）+（3k-1）（-）+3k•1=，
∴T_n=T_3k===．
當(dāng) n=3k-1，k∈N^*時，T_n=T_3k-1=T_3k-b_3k=-3k•1=-=-•=-．
當(dāng) n=3k-2，k∈N^* 時，
T_n=T_3k-2-b_3k-b_3k-1=-3k-（3k-1）（-）=-+=-．
故 T_n=．
分析：（1）由已知可得 a_n=，且 λ=，故a_n=（）•=cos．
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前幾項分別為1，-，-，1，-，-，1，-，-，…可得{a_n}為周期為3的周期數(shù)列，且 a_3k-2+a_3k-1+a_3k=0，k∈z，由此求得S₃₀ 的值．
（3）根據(jù)b_n=na_n =n cos，分 n=3k，n=3k-1，n=3k-2，分別求出數(shù)列{b_n}的前n項的和為T_n．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的函數(shù)的函數(shù)特性，數(shù)列求和，兩個向量共線的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．