Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$），直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（0，3）？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，a=$\sqrt{2}$c，故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，又點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$）在橢圓上，由此能導(dǎo)出橢圓的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，知m²＜8k²+4，又x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，即有AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），由此即可判斷是否存在實(shí)數(shù)k．

解答 解：（1）由題意橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$c∴b²=a²-c²=c²，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
又點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$）在橢圓上
∴$\frac{4}{2{c}^{2}}$+$\frac{2}{{c}^{2}}$=1，∴c²=4，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（0，3）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，
即m²＜8k²+4，
又x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，∴AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
設(shè)AB的垂直平分線l'方程：y=-$\frac{1}{k}$x+3，
∵P在l'上，∴$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$•（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$）+3，
即m=-3-6k²，
代入m²＜8k²+4，
得9（1+2k²）²＜4（1+2k²），
即為1+2k²＜$\frac{4}{9}$，解得k∈∅．
故不存在實(shí)數(shù)k，使線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程和k的取值范圍，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意橢圓的方程和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．