Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2$\sqrt{2}$，PA=2，$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EC}$．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）若直線PD與平面PBC所成角為$\frac{π}{6}$，求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析 （I）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可證明；
（II）求出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=0，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（-$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），P（-$\sqrt{2}$，0，2），
設(shè)B（0，-a，0），D（0，a，0），
由$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EC}$得E（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0，$\frac{2}{3}$），
則$\overrightarrow{PC}$=（2$\sqrt{2}$，0，-2），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，a，$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{BD}$=（0，2a，0），
∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BE}$=0，
∴$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BE}$，
即PC⊥平面BED；
（Ⅱ）設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，-a，0），
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0$，解得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{2}}{a}$，0），
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，a，0），$\overrightarrow{CP}$=（-2$\sqrt{2}$，0，2），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CP}$=0，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{\sqrt{2}}{a}$，$\sqrt{2}$），
∵直線PD與平面PBC所成角為$\frac{π}{6}$，
∴sin$\frac{π}{6}$=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}|}=\frac{1}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，
于是$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=1-\frac{2}{{a}^{2}}=0$，
即$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
則平面APB⊥平面PBC；
即二面角A-PB-C的大小為$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系．