Question

f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N，且n≥2），先計(jì)算x₂，x₃，x₄，后猜想的x_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：由題意和函數(shù)解析式依次求出x₂，x₃，x₄，再歸納出規(guī)律并猜想得到x_n的表達(dá)式．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N，且n≥2），
所以x₂=f（x₁）=

2

1+2

=

2

3

；x₃=f（x₂）=

2× 2 3

2 3 +2

=

1

2

；
x₄=f（x₃）=

2× 1 2

1 2 +2

=

2

5

，
即x₁=1=

2

1+1

，x₂=

2

3

=

2

2+1

，x₃=

1

2

=

2

3+1

，x₄=

2

5

=

2

4+1

猜想得，x_n=

2

n+1

，
故答案為：

2

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．