Question

已知命題p：A={x|

ax-4

x-2

＞0}，命題q：B={x|m＜x＜2m+1}．
（1）若a≥2，求關(guān)于x的不等式

ax-4

x-2

＞0的解集A；
（2）若a=-2且￢p是￢q的充分而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分a=2和a＞2兩種情況分別解對應(yīng)的不等式進行求解；
（2）由逆否命題的等價性把問題轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件即：B為A的真子集，然后由集合的包含關(guān)系進行求解．

解答：解：（1）當a=2時，

2x-4

x-2

＞0，A={x|x≠2}…（2分）
當a＞2時，

ax-4

x-2

＞0，得x＜

4

a

或x＞2，A={x|x＜

4

a

或x＞2}…（4分）
（2）a=-2，

-2x-4

x-2

＞0得

x+2

x-2

＜0，∴A={x|-2＜x＜2}…（6分）
命題：若┒p是┑q的充分不必要條件的等價命題即逆否命題為：q是p的充分不必要條件．
∴B為A的真子集…（7分）
當B=∅時，得m≥2m+1，∴-1≥m…（9分）
當B≠∅時，得

m＜2m+1 -2≤m 2m+1≤2

∴-1＜m≤

1

2

…（11分）
∴實數(shù)m的取值范圍是m≤-1或-1＜m≤

1

2

，即m≤

1

2

…（12分）

點評：本題為充要條件的問題，利用不等式來解決集合間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．