Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最高點為Q（

π

6

，2）
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）當x∈[

π

12

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由最高點為Q（

π

6

，2），可得A=2．
由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為

π

2

，可得T=

2π

ω

=2×

π

2

，解得ω=2．
由點Q（

π

6

，2）在函數(shù)的圖象上，可得2sin（2×

π

6

+φ）=2，即 sin（φ+

π

3

）=1．
再根據(jù)0＜φ＜

π

2

，可得 φ=

π

6

，∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（Ⅱ）當x∈[

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值2；當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，f（x）取得最小值為-1，
故f（x）的值域為[-1，2]．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．