已知拋物線C:y2=2px(p>0)上有一點Q(2,y0)到焦點F的距離為
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(Ⅰ)求p及y0的值;
(Ⅱ)如圖,設(shè)直線y=kx+b與拋物線交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=2,過弦AB的中點M作垂直于y軸的直線與拋物線交于點D,連接AD,BD.試判斷△ABD的面積是否為定值?若是,求出定值;否則,請說明理由.
分析:(I)由拋物線C:y2=2px(p>0),可得焦點,利用弦長公式可得p.把點Q(2,y0)代入拋物線方程可得y0
(II)把直線的 方程與拋物線方程聯(lián)立可得△>0及根與系數(shù)的關(guān)系,再利用三角形的面積公式即可得出.
解答:解:(I)由拋物線C:y2=2px(p>0),可得焦點(
p
2
,0)
,
∵拋物線上的點Q(2,y0)到焦點F的距離為
5
2

2+
p
2
=
5
2
,p=1.
∴y2=2x,
把Q(2,y0)代入拋物線方程,解得y0=±2.
(II)聯(lián)立
y=kx+b
y2=2x
,得:k2x2+2(kb-1)x+b2=0(k≠0),△>0,即1-2kb>0,
x1+x2=
2(1-kb)
k2
,x1x2=
b2
k2

|y1-y2|2=k2|x1-x2|2=k2[(x1+x2)2-4x1x2]=
4(1-2kb)
k2
=4
,
∴1-2kb=k2,
M(
1-kb
k2
,
1
k
)
,D(
1
2k2
1
k
)
,
∴△ABC的面積S=
1
2
|MD|•|y1-y2|=
1
2
×|
1-2kb
2k2
|×2=
1
2
點評:本題綜合考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、弦長公式、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為△>0及根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點. A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M(O為坐標原點).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過M作MN⊥FA,垂足為N,求點N的坐標;
(Ⅲ)以M為圓心,4為半徑作圓M,點P(m,0)是x軸上的一個動點,試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線C的焦點,A為拋物線C上的動點,過A作拋物線準線l的垂線,垂足為Q.
(1)若點P(0,4)與點F的連線恰好過點A,且∠PQF=90°,求拋物線方程;
(2)設(shè)點M(m,0)在x軸上,若要使∠MAF總為銳角,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2Px(p>0)上橫坐標為4的點到焦點的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b(k≠0)與拋物線C交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求證:a2=
16(1-kb)k2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=4x,點M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點,O為坐標原點.
(I)若m=1,且直線l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(II)問是否存在定點M,不論直線l繞點M如何轉(zhuǎn)動,使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=8x與點M(-2,2),過C的焦點,且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若
MA
MB
=0,則k=(  )

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