Question

已知向量

a

=（1，1），

b

=（1，0），向量

c

滿足

a

•

c

=0且|

a

|=|

c

|，

b

•

c

＞0．
（I）求向量

c

；
（Ⅱ）映射f：（x，y）→（x′，y′）=x•

a

+y•

c

，若將（x，y）看作點的坐標，問是否存在直線l，使得直線l上任意一點P在映射f的作用下仍在直線l上？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出向量的坐標根據(jù)已知條件列出式子解出坐標，然后驗證是否滿足

b

•

c

＞0；
（2）由映射寫出象的坐標建立方程，由兩方程表示同一直線比較系數(shù)可得b、k的值．

解答：解：（1）設

c

=（x，y），由題意可得

a • c =x+y=0 | a |=| c |= x2+y2 = 12+12

解方程組得

x=1 y=-1

或

x=-1 y=1

，
經驗證當

x=-1 y=1

時不滿足

b

•

c

＞0，當

x=1 y=-1

時滿足題意，
故

c

=（1，-1）．
（2）假設直線l存在，∴x

a

+y

c

=（x+y，x-y），∵點（x+y，x-y）在直線l上，
因此直線l的斜率存在且不為零，設其方程為y=kx+b（k≠0），
∴x-y=k（x+y）+b，即（1+k）y=（1-k）x-b，與y=kx+b表示同一直線，
∴b=0，k=-1±

2

．
故直線l存在，其方程為y=（-1+

2

）x，或y=（-1-

2

）x．

點評：本題為向量的基本運算，涉及直線的方程的應用，屬中檔題．