Question

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，當x∈R時，f（x）≥2x恒成立，
（1）求實數(shù)a，b的值．
（2）求y=f（x）在[t，t+2]上的最小值g（t）．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=-2得a，b的方程①，由f（x）≥2x即恒成立x²+xlga+lgb≥0對x∈R恒成立，得△=lg²a-4lgb≤0，消掉a得b的不等式，由此可得關(guān)于b的方程，從而得到b值，進而得到a值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3，按照對稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況分類討論，借助圖象可得其最小值；

解答：解：由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，化簡得：lga-lgb=1，
∴

a

b

=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x²+（lga+2）x+lgb≥2x，即x²+xlga+lgb≥0對x∈R恒成立，
由△=lg²a-4lgb≤0，得（1+lgb）²-4lgb≤0，
即（lgb-1）²≤0，只有l(wèi)gb=1，不等式成立，即b=10，∴a=100．
（2）f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3，
當t+2≤-2即t≤-4時，f（x）在[t，t+2]上遞減，g（t）=f（t+2）=t²+8t+13；
當t＜-2＜t+2即-4＜t＜-2時，g（t）=f（-2）=-3；
當t≥-2時，f（x）在[t，t+2]上遞增，g（t）=f（t）=t²+4t+1；
所以g(t)=

t2+8t+13，t≤-4 -3，-4＜t＜-2 t2+4t+1，t≥-2

．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，往往借助圖象加以分析．