Question

15．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面ADP與平面BCP所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性質(zhì)，根據(jù)AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得證；
（Ⅱ）取BC的中點O，連接PO，以O(shè)為原點，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過O垂直于BC的直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出平面ADP與平面BCP的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面ADP與平面BCP所成的銳二面角的大�。�

解答 （Ⅰ）證明：因為∠ABC=90°，所以AB⊥BC，
因為平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：如圖，取BC的中點O，連接PO，
因為PB=PC，所以PO⊥BC．
因為PB=PC，所以PO⊥BC，
因為平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
以O(shè)為原點，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過O垂直于BC的直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
不妨設(shè)BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，$P（0，0，\sqrt{3}），D（-1，1，0），A（1，2，0）$，
所以$\overrightarrow{DP}=（1，-1，\sqrt{3}），\overrightarrow{DA}=（2，1，0）$，
設(shè)平面PAD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
所以$\left\{\begin{array}{l}x-y+\sqrt{3}z=0\\ 2x+y=0\end{array}\right.$．
令x=-1，則$y=2，z=\sqrt{3}$，所以$\overrightarrow{m}$=（-1，2，$\sqrt{3}$）．
取平面BCP的一個法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以平面ADP與平面BCP所成的銳二面角的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查線面垂直，考查平面ADP與平面BCP所成的銳二面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法，屬于中檔題．