Question

已知函數(shù)f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令真數(shù)大于0，得到不等式組解之；
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義，判定f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（3）根據(jù)解析式特點，利用換元得到y(tǒng)=lg（1-x²）+x⁴-2x²=lgt+（t²-1），t∈（0，1]，利用導數(shù)判定單調(diào)性，從而得到值域．

解答： 解：（1）由

1-x＞0 1+x＞0

，解得-1＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．
（2）函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，由f（-x）=lg（1+x）+lg（1-x）+（-x）⁴-2（-x）²=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=f（x），
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（3）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=lg（1-x²）+x⁴-2x²，
設(shè)t=1-x²，由x∈（-1，1），得t∈（0，1]．
所以y=lg（1-x²）+x⁴-2x²=lgt+（t²-1），t∈（0，1]，
因為y′=

1

t

+2t，t＞0，所以y′＞0，
所以函數(shù)y=lgt+（t²-1）在t∈（0，1]上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）的值域為（-∞，0]．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判定；切記：首先判定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．