Question

已知某橢圓C，它的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（-

3

，0），且過點(diǎn)D（2，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若已知點(diǎn)A（1，

1

2

），當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上變動(dòng)時(shí)，求出線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=2且c=

3

，從而b=1，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式將x₀、y₀表示成關(guān)于x、y的式子，將P（x₀，y₀）關(guān)于x、y的坐標(biāo)形式代入已知橢圓的方程，化簡整理即可得到線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：（1）由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），左焦點(diǎn)為F（-

3

，0），
∴a=2，c=

3

，可得b=1
因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），
由根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓上，
∴可得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，化簡整理得(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1，
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓方程并求與之有關(guān)的一個(gè)軌跡方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和軌跡方程的求法等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．