Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x－m－x，其中m為常數(shù)．

(1)若對(duì)任意x∈R有f(x)≥0恒成立，求m的取值范圍；

(2)當(dāng)m>1時(shí)，判斷f(x)在[0,2m]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解　(1)依題意，可知f(x)在R上連續(xù)，

且f′(x)＝e^x－m－1，令f′(x)＝0，得x＝m，

故當(dāng)x∈(－∞，m)時(shí)，e^x－m<1，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(m，＋∞)時(shí)，e^x－m>1，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

故當(dāng)x＝m時(shí)，f(m)為極小值也是最小值．

令f(m)＝1－m≥0，得m≤1.

即對(duì)任意x∈R，f(x)≥0恒成立時(shí)，m的取值范圍是(－∞，1]．

(2)當(dāng)m>1時(shí)，f(m)＝1－m<0.

∵f(0)＝e^－m>0，f(0)·f(m)<0，且f(x)在(0，m)上單調(diào)遞減，

∴f(x)在(0，m)上有一個(gè)零點(diǎn)．

又f(2m)＝e^m－2m，令g(m)＝e^m－2m，

∵當(dāng)m>1時(shí)，g′(m)＝e^m－2>0，

∴g(m)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．

∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.

∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一個(gè)零點(diǎn)．故f(x)在[0,2m]上有兩個(gè)零點(diǎn)．