Question

若存在過點O（0，0）的直線l與曲線f（x）=x³-3x²+2x和y=x²+a都相切，則a的值是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,直線與圓

分析：已知點（0，0）不在曲線y=x³-3x²+2x上，容易求出過點（0，0）的直線與曲線y=x³-3x²+2x相切的切點的坐標，進而求出切線所在的方程；再利用切線與y=x²+a相切，只有一個公共點，兩個方程聯(lián)立，得到一元二次方程，利用判別式為0，即可解出a的值．

解答： 解：由x³-3x²+2x的導數(shù)y'=3x²-6x+2，
設曲線y=x³-3x²+2x上任意一點（x₀，x₀³-3x₀²+2x₀）處的切線方程為
y-x₀³+3x₀²-2x₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），
將（0，0）代入方程得x₀=0或x₀=

3

2

，
①當x₀=0時，切線方程為y=2x，
則聯(lián)立y=2x和y=x²+a，得x²-2x+a=0，由△=4-4a=0，解得，a=1；
②當x₀=

3

2

時，切線方程為y=-

1

4

x，
則聯(lián)立y=-

1

4

x和y=x²+a，得x²+

1

4

x+a=0，由△=

1

16

-4a=0，解得，a=

1

64

．
綜上可得，a=1或

1

64

．
故答案為：1或

1

64

．

點評：熟練掌握導數(shù)的幾何意義，本題屬于中檔題，應學會當直線與拋物線相切時，考慮判別式為0這一等式．對于本題需提醒的是，對于類似y=ax²+bx+c這種情況，應考慮討論a是否為0這一情形．