Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-

1

4

（1）求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（2）當(dāng)m+n≠0時(shí)，求證：

f(m)+f(n)

m+n

＜f（0）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0）的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）先證明當(dāng)x≠0時(shí)，

f(x)

x

＜f(0)．再把x=m+n代入得

f(m+n)

m+n

＜f(0)，而f（m）+f（n）=f（m+n），故

f(m)+f(n)

m+n

＜f(0)得證．

解答： （1）令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
設(shè)x₁＞x₂，由f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
則 y=x₁-x₂＞0，所以 f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
所以 f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
所以，f（x）在R上是減函數(shù)，
f（x）+f（y）=f（x+y）
f（1）+f（-1）=f（0）=0，∴f（-1）=-f（1）=

1

4

，
f（-4）=f（-3）+f（-1）=f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）=4f（-1）=1，
f（4）=f（3）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）+f（1）=4f（1）=-1，
又因?yàn)閒（x）在[-4，4]上是減函數(shù)，
所以，最大值為f（-4）=1，最小值為f（-1）=-1．
（2）∵f（0）=0
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，∴

f(x)

x

＜0，故

f(x)

x

＜0；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，∴f（-x）＜0，由f（x-x）=f（x）+f（-x），得f（x）=-f（-x＞0，∴

f(x)

x

＜0；
綜上：當(dāng)x≠0時(shí)，

f(x)

x

＜f(0)．
∴m+n≠0時(shí)，

f(m+n)

m+n

＜f(0)，
∵f（m）+f（n）=f（m+n），
∴

f(m)+f(n)

m+n

＜f(0)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)定義法和賦值法是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法．注意，把式子要變形、等價(jià)轉(zhuǎn)化．