Question

如圖，底面是正三角形的三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，M為PC中點(diǎn)，且PA=AB，其中下列四個(gè)命題：
①三棱錐P-ABM的體積等于三棱錐C-ABM的體積
②PC⊥平面ABM；
③PA與BM所成角為60°；
④BP與平面ABM所成角的與BC與平面ABM所成角相等；
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)三棱錐P-ABM和三棱錐C-ABM同底等高，可判斷①；利用反證法，可判斷②；求出異面直線(xiàn)PA與BM所成角，可判斷③；根據(jù)PC到平面ABM所成角相等，但PC與平面ABM不垂直，可判斷④．

解答： 解：∵M(jìn)為PC中點(diǎn)，故P，C點(diǎn)到平面MAB的距離相等，
∴三棱錐P-ABM和三棱錐C-ABM同底等高，
∴三棱錐P-ABM的體積等于三棱錐C-ABM的體積，故①為真命題；
若PC⊥平面ABM，則PC⊥BM，由M為PC中點(diǎn)，可得PB=BC，這與PB=

2

AB=

2

BC矛盾，故②為假命題；
過(guò)M作MD∥PA，則∠BMD即為PA與BM所成角，易得MD⊥底面ABC，即MD⊥BD，設(shè)MD=a，則BD=

3

a，則tan∠BMD=

3

，∠BMD=60°，故③為真命題；
由②中PC⊥平面ABM不成立，且M為PC中點(diǎn)，故BP與平面ABM所成角的與BC與平面ABM所成角必不相等，故④為假命題；
故真命題有2個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為棱錐的體積，線(xiàn)面垂直的幾何特征，異面直線(xiàn)的夾角，線(xiàn)面夾角，是空間立體幾何的綜合應(yīng)用，難度較大．