Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都經(jīng)過點P（2，0），且在點P處有公切線，求f（x），g（x）的表達式及點P處的公切線方程．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）=2x³+ax的圖象經(jīng)過點P（2，0）
∴f（2）=2×2³+2a=0∴a=-8
∴f（x）=2x³-8x
∴f′（x）=6x²-8
∴點P處的切線斜率k=f′（2）=6×2²-8=16
∵兩函數(shù)圖象在點P處有公切線
∵g′（x）=2bx
∴g′（2）=4b=16∴b=4
∴g（2）=16+c=0∴c=-16
∴g（x）=4x²-16∴點P處的公切線方程為：y=16（x-2），即16x-y-32=0．
分析：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象都經(jīng)過點P（2，0），求得a，b值，求f（x），g（x）的表達式；再求出曲線方程的導函數(shù)，根據(jù)曲線方程設(shè)出切點坐標，把設(shè)出的切點橫坐標代入導函數(shù)中表示出的導函數(shù)值即為切線的斜率，由切點坐標和斜率表示出切線方程，把原點坐標代入切線方程中即可求出切點的橫坐標，進而得到切點的縱坐標和切線的斜率，寫出公切線方程即可．
點評：本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．