在數(shù)列{an}中,已知a1=
7
2
,an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*).
(Ⅰ)計(jì)算a2,a3
(Ⅱ)求證:{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn
分析:(Ⅰ)由已知條件,分別令n=2,n=3,利用遞推思想能求出a2,a3
(Ⅱ)由an=3an-1+3n-1,推導(dǎo)出
an-
1
2
3n
-
an-1-
1
2
3n-1
為常數(shù),能夠證明{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列.
(Ⅲ)求出等差數(shù)列{
an-
1
2
3n
}
的通項(xiàng)公式,能夠推導(dǎo)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,再利用錯位相減法能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
解答:(本題滿分14分)
解:(Ⅰ)∵a1=
7
2
,an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),
a2=3×
7
2
+32-1
=
37
2

a3=3×
37
2
+33 -1
=
163
2
.…(2分)
(Ⅱ)證明:∵an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*
an-
1
2
3n
-
an-1-
1
2
3n-1

=
(an-
1
2
)-(an-1-
3
2
)
3n
=
an-3an-1+1
3n

=
(3an-1+3n-1)-3an-1+1
3n

=
3n
3n
=1
為常數(shù)
{
an-
1
2
3n
}
是等差數(shù)列,且公差為1.…(6分)
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知{
an-
1
2
3n
}
是等差數(shù)列,且公差為1,且a1=
7
2

an-
1
2
3n
=
a1-
1
2
3
+(n-1)×1=n
,
an=n•3n+
1
2
…(8分)
Sn=(1×31+2×32+3×33+4×34+…+n•3n)+
n
2
…(9分)
Tn=1×31+2×32+3×33+4×34+…+n•3n…①
3Tn=1×32+2×33+3×34+4×35+…+(n-1)•3n+n•3n+1…②,…(10分)
兩式相減得:-2Tn=31+32+33+34+35+…+3n-n•3n+1…(11分)
=
3(1-3n)
1-3
-n•3n+1

=-
1
2
(3-3n+1)-n•3n+1
…(12分)
Tn=
2n-1
4
3n+1+
3
4
…(13分)
Sn=
2n-1
4
3n+1+
3
4
+
n
2
…(14分)
點(diǎn)評:本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法,解題時要注意遞推思想和錯位相減求和法的合理運(yùn)用.
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在數(shù)列{an}中,已知a1=
1
4
,
an+1
an
=
1
4
,bn+2=3log 
1
4
an(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)cn=
3
bnbn+1
,Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求使Sn
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

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an1+2an
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2
an+1+an-1
,n∈N+
(1)記bn=(an-
1
2
2,n∈N+,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式;
(3)對?k∈N+,是否總?m∈N+使得an=k?若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由.

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