Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）計算a₂，a₃；
（Ⅱ）求證：{

an- 1 2

3n

}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及其前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件，分別令n=2，n=3，利用遞推思想能求出a₂，a₃．
（Ⅱ）由an=3an-1+3n-1，推導出

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

為常數(shù)，能夠證明{

an- 1 2

3n

}是等差數(shù)列．
（Ⅲ）求出等差數(shù)列{

an- 1 2

3n

}的通項公式，能夠推導出數(shù)列{a_n}的通項公式，再利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），
∴a2=3×

7

2

+32-1=

37

2

，
a3=3×

37

2

+33 -1=

163

2

．…（2分）
（Ⅱ）證明：∵an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N^*）
∴

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

=

(an- 1 2 )-(an-1- 3 2 )

3n

=

an-3an-1+1

3n

=

(3an-1+3n-1)-3an-1+1

3n

=

3n

3n

=1為常數(shù)
∴{

an- 1 2

3n

}是等差數(shù)列，且公差為1．…（6分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知{

an- 1 2

3n

}是等差數(shù)列，且公差為1，且a1=

7

2

∴

an- 1 2

3n

=

a1- 1 2

3

+(n-1)×1=n，
∴an=n•3n+

1

2

…（8分）
∴Sn=(1×31+2×32+3×33+4×34+…+n•3n)+

n

2

…（9分）
令Tn=1×31+2×32+3×33+4×34+…+n•3n…①
則3Tn=1×32+2×33+3×34+4×35+…+(n-1)•3n+n•3n+1…②，…（10分）
兩式相減得：-2Tn=31+32+33+34+35+…+3n-n•3n+1…（11分）
=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=-

1

2

(3-3n+1)-n•3n+1…（12分）
∴Tn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

…（13分）
∴Sn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

+

n

2

…（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意遞推思想和錯位相減求和法的合理運用．