已知a，b都是正數(shù)，求證：
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．
分析：欲證明：“
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
”，即要證明兩個(gè)不等式：“
2ab
a+b
≤
a+b
2
和
a+b
2
≤
a2+b2
2
”對(duì)于前一個(gè)可直接利用作差法；對(duì)于后一個(gè)先將兩邊的式子平方后再利用作差的方法，作差后結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即得．
解答：證明：因?yàn)閍＞0，b＞0
2ab
a+b
-
a+b
2
=
4ab-a2-2ab-b2
2(a+b)
=-
(a-b)2
2(a+b)
≤0?
2ab
a+b
≤
a+b
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．（5分）(
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2=
a2+2ab+b2
4
-
a2+b2
2
=
-a2+2ab-b2
4
=-
(a-b)2
4
?(
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2≤0?(
a+b
2
)2≤(
a2+b2
2
)2?
a+b
2
≤
a2+b2
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．（11分）
綜上知：
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．（12分）
點(diǎn)評(píng)：這是一道課本習(xí)題．本題主要考查了不等式的證明方法，主要方法有：作差法，分析法，綜合法都可，作差法是指：應(yīng)用數(shù)的減法運(yùn)算可以比較兩個(gè)數(shù)的大小，這就是“作差法”，既要比較兩個(gè)數(shù)a與b的大小，可先求出a與b的差a-b與0比較即可．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b都是正數(shù)，且a≤2，b≤2，則a2-2b為非負(fù)數(shù)的概率是（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
1
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b都是正數(shù)，下列命題正確的是（　　）
A、
2
1
a
+
1
b
≤
ab
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
B、
a2+b2
2
≤
ab
≤
a+b
2
≤
2
1
a
+
1
b
C、
ab
≤
2
1
a
+
1
b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
D、
2
1
a
+
1
b
≤
ab
≤
a2+b2
2
≤
a+b
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題：不等式選講
（Ⅰ） 設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1+a2+a3=m，求證
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥
9
m
．
（Ⅱ） 已知a，b都是正數(shù)，x，y∈R，且a+b=1，求證：ax2+by2≥（ax+by）2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b都是正數(shù)，△ABC是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以兩點(diǎn)A （ a，0 ）和B （ 0，b ）為頂點(diǎn)的正三角形，且它的第三個(gè)頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}內(nèi)，試求 變量 a，b 的約束條件，并在直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)內(nèi)畫出這個(gè)約束等條件表示的平面區(qū)域；
（2）當(dāng)（ a，b ）在（1）所得的約束條件內(nèi)移動(dòng)時(shí)，求△ABC面積S的最大值，并求此時(shí)（a，b ）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•渭南三模）已知a、b都是正數(shù)，且a≤2，b≤2，則a2-2b為非負(fù)數(shù)的概率是
1
3
1
3
．

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