Question

12．設(shè)A（a，a），點(diǎn)P為函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，若PA最小為2$\sqrt{2}$，求a取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），則|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{1}{x}-a）^{2}}$，
令y=x+$\frac{1}{x}$，|PA|=$\sqrt{{t}^{2}-2at+2{a}^{2}-2}$
∵x＞0，∴t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①當(dāng)a≤2時(shí)，t=a時(shí)g（t）取得最小值g（2）=2-4a+2a²=8，解得a=-1；
②當(dāng)a＞2時(shí)，g（t）在區(qū)間[2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=
a²-2，∴a²-2=8，解得a=$\sqrt{10}$．
綜上可知：a=-1或$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了兩點(diǎn)間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．