Question

（2010•濟寧一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點A在x軸的正半軸上，直線AB的傾斜角為

3

4

π，

.

O B

.

=2，設(shè)∠AOB=θ，θ∈（

π

2

，

3

4

π）．
（1）用θ表示點B的坐標(biāo)及|OA|．
（2）若tanθ=-

4

3

，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)的定義，可得B的坐標(biāo)為（2cosθ，2sinθ）．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合直線AB的傾斜角等于

3π

4

算出B=

3

4

π-θ，然后在△AOB中利用正弦定理，即可算出用θ表示|OA|的式子；
（2）根據(jù)tanθ=-

4

3

，由同角三角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出sinθ、cosθ的值，從而算出sin(

3

4

π-θ)=

2

10

，結(jié)合平面向量數(shù)量積的公式代入前面的數(shù)據(jù)，即可得到數(shù)量積

OA

•

OB

的值．

解答：解：（1）由三角函數(shù)的定義，得點B的坐標(biāo)為（2cosθ，2sinθ）．…（2分）
∵在△AOB中，∠BAO=

π

4

，∴∠B=π-

π

4

-θ=

3

4

π-θ，
由正弦定得，得

|OB|

sin π 4

=

|OA|

sinB

…（4分）
即

2

2 2

=

|OA|

sin( 3 4 π-θ)

所以|OA|=2

2

sin(

3

4

π-θ)…（6分）
（2）由（1）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cosθ=4

2

sin(

3

4

π-θ)•cosθ．…（8分）
∵tanθ=-

4

3

，θ∈(

π

2

，

3

4

π)
∴

sin2θ+cos2θ=1 sinθ cosθ =- 4 3

，解之得sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

…（10分）
由此可得sin(

3

4

π-θ)=sin

3

4

π•cosθ-cos

3

4

π•sinθ=

2

2

•(-

3

5

)-(-

2

2

)•

4

5

=

2

10

．
∴

OA

•

OB

=4

2

•

2

10

•(-

3

5

)=-

12

25

．…（12分）

點評：本題將三角形放置于坐標(biāo)系中，在已知直線傾角的情況下求向量的數(shù)量積．著重考查了平面向量的數(shù)量積公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和利用正弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．