Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2=3a_n+1-2a_n，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n+1-a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式求得${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n-1}$，然后利用累加法求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：由a_n+2=3a_n+1-2a_n，得
a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=2，∴a₂-a₁=2-1=1≠0，
則數(shù)列{a_n+1-a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n+1}-{a}_{n}=1×{2}^{n-1}={2}^{n-1}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+1=$\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+1$=2^n-1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．