Question

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R.

(1)求證：若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判斷(1)中命題的逆命題是否正確，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）見解析

（2）逆命題是真命題，見解析

【解析】【解析】
(1)由a＋b≥0，得a≥－b.

由函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，得f(a)≥f(－b)，同理，f(b)≥f(－a)，

所以f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)，即f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)對于(1)中命題的逆命題是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0，此逆命題為真命題．

現(xiàn)用反證法證明如下：

假設(shè)a＋b≥0不成立，則a＋b<0，a<－b，b<－a，

根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，

這與已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，故a＋b<0不成立，

即a＋b≥0成立，因此(1)中命題的逆命題是真命題．