分析 (1)證明ED⊥AC.然后證明AE⊥EF.推出EF是⊙O切線.
(2)通過△ADE∽△AEF,求出AE.在Rt△ADE中,求出DE,然后在Rt△ABE中,求解BE.
解答 (本小題滿分9分)
(1)證明:∵AE是⊙O直徑,∴∠ADE=90°.∴ED⊥AC.
∵AD=DC,∴EA=EC.∴∠AED=∠CED,
∵∠F=∠CED,∴∠AED=∠F.而∠AED+∠EAD=90°,
∴∠F+∠EAD=90°.∴∠AEF=90°.∴AE⊥EF.∴EF是⊙O切線.-----------(4分)
(2)解:∵CD=CF=2,∴AD=CD=CF=2.
∵∠ADE=∠AEF,∠DAE=∠EAF,
∴△ADE∽△AEF.∴AE:AF=AD:AE,即AE:6=2:AE.
∴AE=2$\sqrt{3}$.∴CE=AE=2$\sqrt{3}$.在Rt△ADE中,DE=$\sqrt{{AE}^{2}-{AD}^{2}}$=$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$.
∵AE是⊙O直徑,∴∠ABE=90°.∴$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$DE•AC,
∴AB=$\frac{2\sqrt{2}×4}{2\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$.
在Rt△ABE中,BE=$\sqrt{{AE}^{2}-{AB}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.----------------------(9分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,相似三角形的判斷與應(yīng)用,三角形的解法,考查計(jì)算能力.
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A. | -4 | B. | 4 | C. | -8 | D. | 8 |
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